Semnul functiei

        Fie functia de gradul al doilea, f:R →R, f(x) = ax²+bx +c , a≠ 0 si ecuatia atasata
    ax²+bx +c=0. Am vazut ca semnul lui a ne preciza monotonia functiei pe anumite intervale. Vom vedea in continuare ca semnul lui Δ=b²- 4ac alaturi de semnul lui a precizeaza semnul functiei f.
        Reamintim ca a determina semnul lui f inseamna sa aflam valorile lui x pentru care f(x)>0 sau f(x)<0.
      Observatie:
      Punctul M(x,y) pentru f(x)>0 este situat in semiplanul superior delimitat de Ox(deasupra axei Ox) iar daca f(x)<0 punctul este situat in semiplanul inferior delimitat de Ox(sub axa Ox). Are loc urmatoarea teorema:
     Teorema: Fie f:R →R, f(x) = ax²+bx +c , a≠ 0.

1. Daca Δ>0, atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale distincte x₁<x₂, iar semnul lui f este cel al lui a in afara radacinilor si semnul lui a intre radacini:

x	-∞ x₁ x₂₊∞
f(x)	semnul lui a 0 semn contrar lui a 0 semnul lui a

Tabelul de semn
Daca a>0

x	-∞ x₁ x_{2 +}∞
f(x)	+ + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + + +

Daca a<0

x	-∞ x₁ x_{2 +}∞
f(x)	- - - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - - - - -

Interpretarea geometrica

Semnul functiei

            2. Daca Δ=0, atunci ecuatia atasata lui f are doua radacini reale egale
x₁=x₂=-b iar semnul functiei f este cel al lui a.
             2a

x	-∞ x₁₌x_{2 +}∞
f(x)	semnul lui a 0 semnul lui a

Interpretarea geometrica

3. Daca Δ<0, atunci ecuatia atasata lui f nu are radacini reale, iar semnul functiei f este semnul lui a pe R.

x	-∞ ₊∞
f(x)	semnul lui a

Interpretarea geometrica

Semnul functiei

Obs: Demontratia se face cu ajutorul formei canonice

Inapoi Inainte