Relatiile
lui Viète
Sisteme simetrice
|Obiectivele
lectiei:
Urmatoarea
propozitie pune in evidenta legatura intre radacinile reale ale
ecuatiei de gradul al doilea ax²+bx
+c=0, a≠
0 si coeficientii acesteia. Mai precis are loc urmatoarea
teorema:
Teorema:
Fie ax²+bx
+c=0 , a≠
0, cu radacini reale x1, x2
(distincte sau nu). Atunci au loc relatiile lui
Viète:
x1+x2=-b , x1·x2=c .
a
a
Demonstratia acestei teoreme o gasiti in manualul de clasa a IX-a.
Observatii:
1) Aceste formule
permit sa
calculam suma si produsul radacinilor ecuatiei de gradul al doilea fara
a cunoaste efectiv radacinile.
2) Calculul mental al
solutiilor. Exista ecuatii de gradul al doilea cu radacini reale
care pot fi precizate daca stim suma si produsul radacinilor.
Ex.:
Ecuatia x²-6x
+5=0 are suma radacinilor, S=6
si produsul lor, P=5.
Numerele x1=1, x2=5 verifica aceste
conditii: 1+5=6, 1·5=5.
Deci radacinile
ecuatiei sunt x1=1, x2=5.
3) Ori de cate ori pentru
o ecuatie de gradul al doilea se precizeaza o
relatie intre radacinile acesteia, atunci acestei relatii ii asociem
relatiile lui Viète.
Formarea
ecuatiei de gradul al doilea
Daca ne propunem sa gasim ecuatia de gradul al doilea care are ca
radacini numerele reale x1
si x2, atunci
ne vom folosi de urmatoarea teorema:
Teorema:
Daca doua numere reale x1, x2 au
suma x1+x2=S si
produsul x1·x2=P,
atunci ele sunt solutiile ecuatiei
x²-Sx
+P=0.
Cele doua numere
exista daca si numai daca S2-4P≥0.
Exemplu:
Sa formam ecuatia de gradul al doilea daca radacinile ei
sunt x1=-4 si x2=5.
Mai intai aflam suma si produsul radacinilor apoi inlocuim in ecuatia x²-Sx
+P=0. Obtinem:
S=1, P= -20 si ecuatia x²-x -20=0
Descompunerea
trinomului de gradul al doilea in factori liniari
Fie
trinomul de gradul al doilea aX2+bX+c,
a≠
0, a, b, c c R si Δ =b2-4ac, Δ≥0. Deci
ecuatia de gradul al doilea ax²+bx
+c=0, are
radacinile reale x1,
x2. Are
loc urmatoarea teorema:
Teorema:
Trinomul aX2+bX+c,
a≠
0, a, b, c c R si b2-4ac≥0 se descompune
in factori liniari dupa formula aX2+bX+c=a(x-x1)(x-x2),
unde x1,
x2 sunt
radacinile reale ale ecuatiei ax²+bx
+c=0.
Demonstratia acestei teoreme o
gasiti
in manualul de clasa a IX-a.
Exemplu: Sa
descompunem in factori trinomul: X2-3X+2.
Rezolvam
in R ecuatia atasata
trinomului: x²-3x
+2=0 si gasim solutiile
x1=2 si x2=1.
Deci descompunerea va fi: X2-3X+2=(x-1)(x-2).
Sisteme simetrice
Definitie:
O ecuatie cu doua necunoscute x,
y se numeste simetrica
daca inlocuind pe y cu x, ecuatia nu se schimba. Daca
ecuatia simetrica are solutia (x0, y0), atunci
admite si solutia (y0, x0).
Exemple:
Ecuatiile 5x+3xy+5y=10 si 2(x2+y2)-xy=1
sunt simetrice
dar ecuatia x-2xy+3y=0 nu este
simetrica.
Definitie:
Se numeste sistem simetric sistemul format din ecuatii
simetrice.
Sistemul simetric  se numeste sistem
simetric fundamental.
Rezolvarea
sistemului
simetric fundamental se face utilizand ecuatia de gradul al
II-lea in z
(o noua necunoscuta) cand se cunosc suma S=x+y si produsul P=xy pentru necunoscutele x si y. Formam ecuatia z2-Sz+P=0, o rezolvam
si-i determinam radacinile z1 si z2. Deci o solutie a sistemului este
(x1=z1,
y1=z2)si
pentru ca sistemul este simetric avem si solutia ( x2=z2, y2=z1).
Exemplu:
Sa rezolvam sistemul  .
Vom forma ecuatia de gradul al doilea in z: z2-10z+21=0. Aceasta are
solutiile z1=3
si z2=7.
Asadar sistemul are solutia S={(3, 7), (7, 3)}.
Tema: Ex. 5, 6/ pag. 193
-
Viète - matematician
francez 1540-1603, unul din creatorii algebrei
|
BluePink 
