Graficul functiei de gradul al II-lea

Prin graficul functiei f:R→ R , f(x)=ax²+bx+c, a≠0 intelegem reprezentarea geometrica a multimii G_f={(x,y) / y=ax²+bx+c, xÎR}.

Graficul functiei e gradul al doilea se numeste parabola.
Cuplul are ca imagine in planul cartezian punctul notat cu V, numit si varful parabolei. Deci

.

Axa de simetrie a parabolei

Are loc urmatorul rezultat important:
Teorema: Fie f:R→R , f(x)=ax²+bx+c, a≠0 . Dreapta verticala

(care contine varful V) este axa de simetrie pentru graficul functiei f. (demonstratia teoremei o gasiti in manual)
Trasarea graficului
Pentru trasarea graficului functiei de gradul al II-lea folosim metoda „prin puncte remarcabile” ale graficlui functiei, care vor fi unite printr-o curba continua.

Punctele remarcabile ale graficului functiei de gradul al II-lea sunt punctele in care graficul intersecteaza axele de coordonate si punctul de maxim sau minim al graficului.

Etape ce trebuiesc parcurse in trasarea graficului:

1. Intersectia parabolei P cu axele de coordonate:
a) Intersectia cu axa Ox:
PÇOx:

. Rezolvam ecuatia ax²+bx+c=0. In functie de semnul lui D=b² - 4ac avem cazurile:
i) D>0, ecuatia are doua radacini reale si distincte x₁, x₂(x₁<x₂). In acest caz parabola P taie axa Ox in punctele A si B. Scriem ca PÇOx={A(x₁, 0), B(x₂, 0)}.
ii) D=0, ecuatia are doua radacini reale si egale x₁=x₂=

. In acest caz parabola P este tangenta axei Ox. Scriem ca PÇOx=.
iii) D<0, ecuatia nu are radacini reale. In acest caz parabola P nu interecteaza axa Ox adica PÇOx=Æ.
b) Intersectia cu axa Oy:

2. Determinarea varfului parabolei: V(x_v, y_v), unde

reprezinta coordonatele varfului care poate fi punct de maxim sau minim.
3.Determinarea altor valori de-o parte si de alta a lui x_v.
4.Trasarea tabelului de variatie:
i) Daca a>0 atunci tabelul de variatie va arata astfel:

ii) Daca a<0 atunci tabelul de variatie va arata astfel:

Inapoi Inainte