Pozitia
relativa a unei
drepte fata de o parabola
Rezolvarea
sistemelor de
forma:
(1) 
,m, n, a, b, ccR, a, m≠0.
|Obiectivele
lectiei:
Rezolvarea acestui tip de sistem de ecuatii
depinde de
rezolvarea unei ecuatii de gradul al doilea.
Metoda de rezolvare a
acestui sistem este metoda substitutiei. Substituind pe y
din prima ecuatie in
a doua ecuatie, sistemul se scrie echivalent:
 ↔ 
Observam ca a doua ecuatie a sistemului este o
ecuatie de
gradul doi in necunoscuta x. Distingem urmatoarele cazuri de
discutie:
1) Daca Δ<0,
ecuatia nu are radacini reale si atunci sistemul
(1) nu are solutii reale: S=Æ.
2)
Daca Δ=0,
ecuatia are doua radacini reale egale si atunci
sistemul (1) are o solutie reala:S={(x,y)}
3) Daca
Δ>0,
ecuatia are doua radacini reale si diferite si
atunci sistemul (1) are doua solutii
reale: S={(x1,
y1), (x2, y2)}.
Exemplu: Fie
sistemul  . Rezolvarea o vom
face folosind metoda substitutiei reamintita mai sus. Sistemul va fi
echivalent cu  ↔
 ↔  .
Observam ca cea de-a doua ecuatie este o ecuatie de gradul al doilea. O
rezolvam si obtinem solutiile: x1=1;
x2=2. Pentru a termina rezolvarea inlocuim
in prima
ecuatie,
obtinem: y1=5; y2=8. Solutiile sistemului
sunt: (1; 5); (2; 8).
Interpretarea geometrica a rezolvarii sistemului (1)
In
planul cartezian, ecuatia y=mx+n
reprezinta ecuatia unei drepte d care este reprezentarea grafica
a functiei de gradul I, f:R→R, f(x)=mx+n,
iar y=ax2+bx+c,
a≠0,
este ecuatia unei parabole P ce este
reprezentarea grafica a functiei de
gradul al doilea f:R→R, f(x)=ax2+bx+c
Faptul ca perechea (x0, y0) este
solutie
a sistemului (1), se
traduce geometric prin aceea ca punctul A(x0,
y0)
se afla atat pe dreapta d cat si pe parabola P.
Deci
acest punct se
afla la intersectia graficelor celor doua functii: AÎd∩P.
Putem spune ca, solutiile reale ale sistemului (1) (daca exista) dau
coordonatele punctelor de intersectie ale dreptei d cu parabola P.
Avem cazurile:
1) Daca
sistemul (1) nu are solutii reale, atunci d∩P=Æ si
spunem ca dreapta d este exterioara parabolei
P.
2)
Daca sistemul (1) are o solutie reala, atunci d∩P={A}
si spunem ca dreapta d este
tangenta in punctul A parabolei
P.
3) Daca sistemul (1) are doua solutii
reale, atunci d∩P={A,
B} si spunem ca dreapta d
este secanta parabolei in
punctele A si B. 
|
BluePink 
